Nació el 13 de junio de 1990, en Buckinghamshire, Inglaterra. Debuto como actor en la obra teatral Macbeth, a los 6 años, en su natal Inglaterra, para después estudiar formalmente actuación en la escuela Stage School en High Wycombe. En 2002, debuto en el cine, en la cinta Tom & Thomas. Poco después participo en Shanghai Knights (2003), como un joven Charles Chaplin, a la que siguió una breve participación en la cinta El Ilusionista (2006), donde interpretaba a la versión adolescente del personaje de Edward Norton.  En 2009, finalmente obtuvo el papel principal para la cinta Nowhere Boy (2009), donde interpretaba a un joven John Lennon. Este papel le valió suficiente atención para obtener el protagónico de la esperada adaptación del comic de Mark Millar, Kick Ass (2010), el cual lo lanzó al estrellato mundial y lo convirtió en uno de los actores jóvenes más recurrentes y reconocidos. Posteriormente se involucró en numerosos proyectos, como Albert Nobbs (2011), Salvajes (2012), Anna Karenina (2012) y Kick Ass 2 (2013). En 2014, obtuvo el papel de Pietro Maximoff / Quicksilver, para la cinta dentro del universo cinematográfico de Marvel, Capitán América y el soldado del invierno, papel que repetiría dos años después en Avengers: La era de Ultrón (2015). Johnson también participó en la nueva y exitosa versión de Godzilla (2014), para el director Gareth Edwards. El actor fue reconocido por su papel en la cinta Animales Nocturnos (2016), cinta que le valió una nominación a los Globos de Oro en 2017. Aaron está casado con la directora británica Sara Taylor-Wood, con quien tiene dos hijas Wylda Rae y Romy Hero. En el 2021 Aaron sorprendió a los fanáticos con su ausencia en WandaVision como Pietro o Quicksilver, el hermano de Wanda.